Unidad 3 · Energía mecánica y cantidad de movimiento

Conservación de la energía mecánica, teorema del trabajo y el roce

Todo lo anterior fue preparación. Ahora llega el resultado que convierte a la energía en la herramienta más poderosa de la mecánica: si no hay roce, la suma de la energía cinética y la potencial no cambia nunca. Con eso podrás responder en dos líneas preguntas que analizando fuerzas tomarían una página entera — y que a veces, francamente, no sabrías cómo empezar.

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Una trayectoria descendente en la que dos formas de energía se intercambian de manera continua, sugiriendo una cantidad total que permanece constante mientras cambia de aspecto, en tonos azul y violeta.
Mientras el cuerpo cae, una energía se convierte en la otra. La suma, en cambio, se mantiene intacta.

Definamos primero la protagonista. Si sumamos las dos energías que ya conocemos —la del movimiento y la de la posición— obtenemos una sola cantidad:

Em = Ec + Ep

Sin roce: Ec inicial + Ep inicial = Ec final + Ep final

La idea es que las dos energías se turnan. Cuando un cuerpo cae, pierde altura y gana rapidez: la potencial baja exactamente lo mismo que sube la cinética. Cuando sube, ocurre al revés. La cantidad total no se entera de nada.

m = 2 kg cae desde h = 5 m · Em = 100 J siempre h = 5 m · v = 0 Ep 100 J Ec = 0 h = 2,5 m Ep 50 Ec 50 h = 0 · v = 10 m/s Ec 100 J Ep = 0 Em 100 J Las barras cambian de color, pero el tope no se mueve nunca
Figura 1. Tres instantes de la misma caída. La energía potencial (violeta) se va convirtiendo en cinética (azul), pero la altura total de la barra no cambia: la línea punteada marca los 100 J de energía mecánica, idénticos en los tres momentos. Eso es conservarse.

El ejemplo que hay que saber hacer

Dejamos caer un cuerpo de m = 2 kg desde h = 5 m, con g ≈ 10 m/s². ¿Con qué rapidez llega al suelo? Poniendo el nivel de referencia en el suelo, arriba toda la energía es potencial:

Em = Ep = m·g·h = 2 · 10 · 5 = 100 J

Abajo, la altura es cero, así que toda esa energía tuvo que convertirse en cinética:

½ · m · v² = 100 J ⟹ ½ · 2 · v² = 100 ⟹ v² = 100 ⟹ v = 10 m/s

Fíjate en lo que no hicimos: no calculamos la aceleración, no usamos ninguna ecuación de MRUA, no analizamos fuerzas. Solo igualamos energías al principio y al final. Esa es toda la gracia del método.

La rapidez no depende de la masa

Ahora un detalle que sorprende. Hagamos el mismo cálculo sin reemplazar la masa por un número. Arriba Ep = m·g·h; abajo Ec = ½·m·v². Igualando:

½ · m · v² = m · g · h ⟹ v² = 2·g·h ⟹ v = √(2·g·h)

La masa se cancela. La rapidez con que llega al suelo no depende de cuán pesado sea el cuerpo: solo de la altura desde la que cae. Un cuerpo de 2 kg y uno de 200 kg soltados desde 5 m llegan los dos a 10 m/s. Es el mismo resultado que ya habías visto en caída libre, ahora deducido por energía. (Un cuerpo más pesado llega con más energía, sí, pero con la misma rapidez.)

Tampoco depende del camino

Aquí es donde el método se vuelve casi injusto de lo eficiente. Como la gravedad es una fuerza conservativa, su trabajo depende solo del desnivel, no de la trayectoria. Entonces, si no hay roce, cualquier camino que baje la misma altura entrega la misma energía cinética — y por lo tanto la misma rapidez final.

h = 5 m · v = 0 caída libre v = 10 m/s rampa recta v = 10 m/s tobogán curvo v = 10 m/s h Misma rapidez final — pero el tiempo de viaje sí es distinto en cada camino
Figura 2. Sin roce, los tres cuerpos llegan al suelo con exactamente la misma rapidez, porque bajaron el mismo desnivel. El camino no importa para la rapidez final. Ojo: el tiempo que demora cada uno sí es distinto — la conservación de la energía no dice nada sobre cuánto se demora.

Y entonces llega el roce

Todo lo anterior venía con una letra chica: sin roce. En el mundo real casi siempre hay roce, y el roce cambia las reglas. La razón de fondo es que la fuerza de roce no es conservativa: su trabajo sí depende del camino recorrido (mientras más largo el camino, más roce acumulado), y por eso no se le puede asociar ninguna energía potencial.

Cuando hay roce, la energía mecánica no se conserva: disminuye. La cuenta exacta es que el trabajo del roce, que es negativo, se lleva justo esa diferencia:

Wroce = Em final − Em inicial (negativo)

Sin roce Ep 100 J inicio Ec 100 J final Em se conserva Con roce Ep 100 J inicio Ec 60 calor 40 J final la energía TOTAL se conserva Em bajó de 100 J a 60 J: el roce se llevó 40 J
Figura 3. Con roce, la barra de energía mecánica sí encoge: de 100 J quedan 60 J de cinética. Pero los 40 J que faltan no desaparecieron: están ahí, como calor. El tope de la barra total sigue en el mismo lugar. La energía mecánica no se conservó; la energía, sí.

La energía nunca se pierde

Esto merece decirse con todas sus letras, porque es una de las ideas más importantes de toda la física. Cuando decimos que "el roce hace perder energía", hablamos mal. La energía no se pierde ni se destruye. Lo que ocurre es que el roce la transforma en energía térmica: las superficies que rozan se calientan, y esa energía se dispersa entre las moléculas del cuerpo y del ambiente.

Frótate las manos con fuerza durante unos segundos: se calientan. Ese calor es exactamente la energía mecánica que dejó de estar en el movimiento de tus manos. Lo único que se perdió es la posibilidad de recuperarla como movimiento: a diferencia de la energía potencial, el calor disperso no vuelve solo.

Un ejemplo con roce

Un cuerpo de m = 2 kg baja por un tobogán desde h = 5 m, pero esta vez hay roce, y llega abajo con v = 6 m/s. ¿Cuánta energía se llevó el roce? La mecánica inicial era Ep = 2·10·5 = 100 J. La final es

Ec = ½ · 2 · 6² = ½ · 2 · 36 = 36 J

Así que el roce disipó 100 − 36 = 64 J, que aparecieron como calor en el tobogán y en el cuerpo. Nótese que sin roce habría llegado a 10 m/s; con roce llega a 6 m/s.

Cuándo puedes usar la conservación de la energía mecánica
Situación¿Em se conserva?Qué usar
Caída libre, sin aireSíEc i + Ep i = Ec f + Ep f
Rampa o tobogán liso (sin roce)SíIgual que arriba; el camino no importa
Resorte idealSíIgual, con Ep = ½·k·x²
Superficie rugosa, con roceNoEm f = Em i + Wroce (Wroce < 0)
Con resistencia del aireNoIgual que el roce: parte se va como calor

Con qué se conecta

Con esto cierra el bloque de la energía. Pero la energía no lo explica todo: hay preguntas —sobre todo en los choques— para las que necesitamos otra cantidad que también se conserva, y que además es vectorial. Esa cantidad es la cantidad de movimiento, y con ella se entiende por qué dos autos que chocan y quedan pegados salen disparados hacia un lado y no hacia el otro — algo que la energía, por ser escalar, no puede responder.