Unidad 3 · Energía mecánica y cantidad de movimiento

Energía potencial: gravitatoria y elástica, la energía de la posición

Una piedra sostenida en lo alto de un cerro no se mueve: su energía cinética es cero. Y sin embargo todos sabemos que ahí hay algo, una especie de energía en espera, lista para aparecer apenas se suelte. Lo mismo pasa con un resorte comprimido o con un elástico estirado. Esa energía guardada por la posición o por la deformación es la energía potencial.

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Un cuerpo suspendido en altura y un resorte comprimido conviven en una misma escena serena, sugiriendo energía contenida a la espera de liberarse, en tonos azul y violeta. — Ni la piedra en altura ni el resorte comprimido se mueven. Los dos, sin embargo, guardan energía: la que les da su posición.

Al final del artículo sobre el trabajo mecánico vimos que algunas fuerzas —la gravedad, la fuerza elástica— son conservativas: su trabajo no depende del camino, solo de dónde empieza y dónde termina el cuerpo. Esa propiedad tiene una consecuencia preciosa. Como el trabajo solo depende de la posición, podemos guardar toda esa información en un número asociado a la posición, sin arrastrar la historia del recorrido. Ese número es la energía potencial.

Energía potencial gravitatoria

Para levantar un cuerpo de masa m hasta una altura h, con rapidez constante, hay que aplicarle una fuerza hacia arriba igual a su peso, es decir m·g. Esa fuerza actúa a lo largo de la altura h en su misma dirección, así que el trabajo que realiza es W = m·g·h. Ese trabajo no se perdió ni se convirtió en movimiento (el cuerpo sube lento y llega quieto): quedó guardado en la nueva posición del cuerpo.

E_{p gravitatoria} = m · g · h

Con m en kilogramos, g ≈ 10 m/s² y h en metros, el resultado sale en joule. Nótese que la altura entra una sola vez: la energía potencial gravitatoria crece de forma proporcional a la altura. El doble de altura, el doble de energía. Esto la diferencia de la energía cinética, donde la rapidez entraba al cuadrado.

Figura 1. Izquierda: para subir el cuerpo con rapidez constante se aplica una fuerza igual al peso m·g a lo largo de la altura h; ese trabajo queda guardado como Ep = m·g·h. Derecha: al triplicar la altura, la energía potencial se triplica — crece de forma proporcional, no al cuadrado.

El nivel de referencia es una elección tuya

Aquí viene el punto más sutil —y más importante— de todo el tema. En la fórmula Ep = m·g·h, ¿la altura h se mide desde dónde? La respuesta incomoda al principio: desde donde tú decidas. No existe una altura "verdadera" en el universo. Antes de calcular una energía potencial gravitatoria hay que elegir un nivel de referencia, un lugar donde declaramos que Ep = 0.

Imagina que sostienes un libro 20 cm por encima de una mesa, y que la mesa mide 1 m de alto. Si ponemos el cero en la mesa, la altura del libro es 0,2 m. Si lo ponemos en el suelo, es 1,2 m. Dos números distintos para la misma situación, y ninguno de los dos está mal. Lo que la naturaleza sí decide, y en lo que ambas elecciones coinciden exactamente, es en cuánta energía cambia cuando el libro se mueve.

Figura 2. El mismo libro, dos niveles de referencia. Con el cero en la mesa vale 4 J; con el cero en el suelo, 24 J. Ninguno está mal. Y si el libro cae hasta la mesa, la variación es ΔEp = 4 J en ambos casos: lo que tiene significado físico son las diferencias, no el valor absoluto.

Energía potencial elástica

La otra fuerza conservativa del programa es la elástica. Por la ley de Hooke, un resorte estirado o comprimido una distancia x desde su posición natural responde con una fuerza proporcional a esa deformación: F = k·x, donde k es la constante elástica del resorte (en N/m). Y aquí aparece una diferencia crucial con el caso gravitatorio: la fuerza del resorte no es constante. Empezar a estirarlo cuesta poco; seguir estirándolo cuesta cada vez más.

Para calcular el trabajo de una fuerza que cambia no podemos usar W = F·d sin más. Usamos, en cambio, la herramienta que vimos en el artículo del trabajo: el área bajo el gráfico de fuerza. Como F = k·x es una recta que parte del origen, esa área no es un rectángulo sino un triángulo: base x, altura k·x.

E_{p elástica} = área del triángulo = ½ · base · altura = ½ · x · (k·x) = ½ · k · x²

Figura 3. Como la fuerza elástica crece con la deformación (F = k·x), el área bajo la recta es un triángulo y no un rectángulo. De ahí sale el ½: Ep = ½·k·x². Compárala con la Figura 3 del artículo de trabajo mecánico, donde la fuerza era constante y el área era un rectángulo.

La elástica sí es cuadrática

Vale la pena detenerse en la simetría. La energía potencial gravitatoria depende de la altura de forma proporcional (m·g·h), porque el peso es una fuerza constante. La energía potencial elástica depende de la deformación de forma cuadrática (½·k·x²), porque la fuerza elástica crece con la deformación. Por eso estirar un elástico al doble no cuesta el doble de energía: cuesta cuatro veces. Exactamente el mismo patrón que vimos en la energía cinética con la rapidez.

Figura 4. Las dos energías potenciales no se comportan igual. La gravitatoria es una recta: al doble de altura, el doble de energía. La elástica es una parábola: al doble de deformación, cuatro veces la energía. La diferencia viene de que el peso es constante y la fuerza elástica no.

Ejemplos con números

Un cuerpo de m = 2 kg se levanta h = 5 m sobre el suelo, tomando el suelo como nivel de referencia y con g ≈ 10 m/s²:

E_p = 2 kg · 10 m/s² · 5 m = 100 J

Un resorte de constante k = 200 N/m se comprime x = 0,2 m. Como (0,2)² = 0,04:

E_p = ½ · 200 N/m · 0,04 m² = 4 J

Si lo comprimimos al doble (x = 0,4 m, con (0,4)² = 0,16), obtenemos Ep = ½ · 200 · 0,16 = 16 J: cuatro veces más, tal como anuncia la parábola.

Las dos energías potenciales del programa
	Gravitatoria	Elástica
Fórmula	E_p = m·g·h	E_p = ½·k·x²
Fuerza asociada	Peso, m·g (constante)	Elástica, k·x (variable)
Área bajo la fuerza	Rectángulo	Triángulo
Dependencia	Proporcional a h	Cuadrática en x
Al doblar la variable	×2	×4
¿Depende de una elección?	Sí, del nivel de referencia	No: el cero es la posición natural del resorte

Con qué se conecta

Ya tenemos las dos piezas: la energía cinética, que depende del movimiento, y la energía potencial, que depende de la posición. Su suma recibe un nombre —energía mecánica— y protagoniza el resultado más potente de la unidad: en ausencia de roce, esa suma se conserva. Lo que una pierde, la otra lo gana, exactamente. Ese es el próximo artículo, y con él se pueden resolver problemas que por fuerzas serían muy engorrosos.

✅ En resumen

La energía potencial es energía guardada por la posición o la deformación, y solo existe para fuerzas conservativas (gravedad, elástica). El roce no tiene energía potencial asociada.
Gravitatoria: E_p = m·g·h. Crece de forma proporcional a la altura, porque el peso es constante.
El nivel de referencia se elige libremente. Distintas elecciones dan distintos valores de Ep, pero la misma ΔEp: solo las diferencias tienen significado físico.
Elástica: E_p = ½·k·x². Es cuadrática en la deformación, porque la fuerza elástica crece con x; el ½ sale de que el área bajo F = k·x es un triángulo.
Estirar un resorte al doble no cuesta el doble de energía, sino cuatro veces.
El resorte no necesita nivel de referencia: su cero es la posición natural, y Ep nunca es negativa.